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Qibla, épisode 9 · Damas, Syrie · 9 min de lecture

Le problème de maths que personne n'avait su mettre en table

Posez une règle sur une carte, entre votre ville et La Mecque. Ce que vous venez de tracer n'est pas le plus court chemin. L'écart peut atteindre vingt degrés, et le problème a occupé les mathématiciens du monde musulman pendant cinq siècles. La solution complète a été calculée à la main, dans une mosquée, par un homme payé pour régler les heures de la prière.

Le piège de la ligne droite

Il faut d'abord comprendre pourquoi la question est difficile, parce qu'elle n'en a pas l'air.

Sur une carte marine classique, celle de Mercator, une ligne droite a une propriété très commode : elle correspond à un cap constant. Vous réglez votre boussole une fois, vous la suivez, vous arrivez. C'est exactement pour cela que ces cartes ont été inventées, et c'est un immense service rendu à la navigation.

Mais un cap constant n'est pas le plus court chemin. Sur une sphère, le trajet le plus court entre deux points est un arc de grand cercle, et un arc de grand cercle change de cap en permanence. Il part dans une direction, il tourne tout du long, il arrive dans une autre.

Les deux réponses ne se ressemblent pas. Et l'écart entre elles grandit avec la distance.

Deux villes, deux écarts

Nous avons fait les calculs, par la formule du grand cercle d'un côté et par celle de la loxodromie de Mercator de l'autre. Ils sont refaisables par quiconque.

Depuis Istanbul, La Mecque est à 2 406 kilomètres. Le plus court chemin part sur un cap de 151,6 degrés ; la ligne droite tracée sur la carte part sur 154,8. Trois degrés d'écart. Sur cette distance, la différence est presque insensible.

Depuis Xi'an, en Chine, La Mecque est à 6 820 kilomètres. Le plus court chemin part sur 277,5 degrés ; la ligne droite part sur 258,1. Plus de dix-neuf degrés. Et le trajet à cap constant fait cent kilomètres de plus.

Voilà la règle, et elle est simple : plus c'est loin, plus l'écart grandit. Pour une communauté qui s'étendait de l'Andalousie à la Chine, ce n'était pas un détail de géomètre.

Cinq siècles de travail

La question est posée très tôt. Dès le IX^e siècle à Bagdad, al-Khwarizmi propose des procédés approchés et des tables donnant la direction de La Mecque en fonction de l'écart de longitude et de latitude. Approchés : le mot compte.

Les siècles suivants apportent la solution exacte. Al-Battani, Ibn Yunus, al-Biruni, Nasir al-Din al-Tusi, Ibn al-Shatir : la liste est longue, et le fil qui la traverse est toujours le même. Pour résoudre proprement le problème de la direction sacrée, il fallait savoir calculer sur les triangles tracés à la surface d'une sphère.

Ce besoin a été l'un des grands moteurs du développement de cette branche des mathématiques dans le monde musulman. Ce n'est pas une reconstruction rétrospective : les traités eux-mêmes posent la question de la qibla comme un problème à résoudre, et ils y consacrent des chapitres entiers.

Mais avoir la formule exacte ne suffit pas. Il faut encore l'appliquer. Et l'appliquer, à la main, ville par ville, pour un monde qui va de l'Atlantique à la Chine, c'est un travail d'une autre nature.

L'homme de la mosquée des Omeyyades

Celui qui s'y attelle ne travaille pas dans un observatoire de cour. Il travaille dans une mosquée.

Damas, la mosquée des Omeyyades, vers 1365. Un homme y occupe une fonction bien réelle et bien rémunérée : régler les heures de la prière. Cela suppose de savoir mesurer le temps par le soleil, connaître la hauteur des astres, tenir des tables. C'est un métier technique, exercé dans l'enceinte même de l'édifice.

Il s'appelle Shams al-Din al-Khalili.

Ce qu'il a calculé

Al-Khalili produit un ensemble de tables considérable. Celle qui nous occupe est la table de qibla, et ses dimensions sont les suivantes.

2 880 entrées. Toutes les latitudes de 10 à 56 degrés, tous les écarts de longitude de 1 à 60 degrés. C'est-à-dire : la direction de La Mecque pour n'importe quel point du monde habité de son temps, lisible directement, sans le moindre calcul à refaire.

Et la précision, maintenant. Les entrées ont été recalculées avec des moyens modernes. Le verdict, dans les termes de l'étude de référence : la grande majorité des 2 880 valeurs sont exactes, ou fausses d'une à deux minutes d'angle.

Une minute d'angle est un soixantième de degré. Pour donner une idée de ce que cela représente : sur les mille quatre cents kilomètres qui séparent Damas de La Mecque, deux minutes d'angle correspondent à moins d'un kilomètre à l'arrivée.

Sans machine. Sans logarithmes, qui n'existent pas encore. Avec des tables trigonométriques, une méthode, et le temps qu'il faut.

Une précision sur cette image

La miniature ci-dessus montre des astronomes ottomans du XVI^e siècle, pas al-Khalili ni son atelier. Nous n'avons aucune image de lui ni de son lieu de travail, et il n'en existe pas. Elle est ici pour donner à voir les instruments, les postures, les livres, ce que pouvait être matériellement ce métier. Rien de plus.

Ce que ces tables sont devenues

Elles n'ont pas dormi dans une bibliothèque. Elles ont servi.

Les tables auxiliaires d'al-Khalili ont été utilisées pendant des siècles dans les trois grands centres de mesure du temps du monde musulman : Damas, Le Caire et Istanbul. Trois villes, trois grandes mosquées, et la même fonction technique exercée dans chacune.

C'est un point qui mérite d'être souligné, parce qu'il contredit une image courante. On se représente volontiers la science médiévale comme une affaire de mécènes et de cours princières. Ici, la chaîne est différente : un besoin liturgique, un poste salarié dans une mosquée, un travail de calcul, et une diffusion par le réseau des mosquées elles-mêmes.

Ce que cet article ne dit pas

Nous ne disons pas qu'al-Khalili aurait « inventé » la solution du problème. La formule exacte lui est très antérieure, et nous l'avons dit. Ce qu'il apporte est d'un autre ordre : la tabulation universelle, c'est-à-dire le passage d'une méthode que quelques savants savent appliquer à un outil que n'importe quel praticien peut consulter.

Nous ne disons pas non plus qu'une carte à cap constant serait « fausse ». Elle donne un trajet parfaitement valide, simplement plus long. Le mot « erreur » n'a pas sa place ici, et nous ne l'employons jamais pour une méthode ancienne : un écart de direction se mesure entre deux méthodes, jamais entre une méthode et la vérité.

Enfin, le quadrillage qui illustre la table dans notre vidéo est un schéma. Il ne reproduit ni la mise en page réelle du manuscrit, ni le nombre exact de cases. Seuls le total et les bornes sont repris de la source.

Nos sources, en clair

Nous donnons les références avec les liens, pour que chacun puisse vérifier sans passer par nous.

• Notice « al-Khalīlī » du Biographical Encyclopedia of Astronomers, rédigée par David A. King, hébergée par l'Institute of Islamic Studies de l'université McGill : islamsci.mcgill.ca. C'est de là que viennent les 2 880 entrées, les bornes de latitude et de longitude, et l'évaluation de précision.
• David A. King, « Qibla Charts, Qibla Maps, and Related Instruments », chapitre 9 de The History of Cartography, vol. 2 livre 1, University of Chicago Press, en accès libre : press.uchicago.edu. Sur les méthodes approchées du IX^e siècle et leur diffusion.
• Jan P. Hogendijk, historien des mathématiques à l'université d'Utrecht, « Methods for finding the qibla in the medieval Islamic tradition » et autres travaux : jphogendijk.nl.
• Les caps et distances cités sont calculés par nous, formule du grand cercle pour l'orthodromie et formule de Mercator pour le cap constant. Coordonnées de La Mecque : 21,4225 N, 39,8262 E.

Pour continuer

L'épisode précédent racontait les disques d'Ispahan, qui répondent au même problème par un objet plutôt que par une table. L'épisode sur Ibn al-Haytham raconte une solution attribuée pendant quatre siècles à quelqu'un d'autre. Et l'épisode 1 pose la question qui ouvre la série.