La seule solution : des étages d'anneaux

Autour de la Kaaba, on tourne. Sept fois, toujours dans le même sens. Des millions de personnes accomplissent ce parcours chaque année, dans un anneau qui ne peut ni se déplacer ni changer de centre.

Tout le problème d'ingénierie du sanctuaire tient dans une seule question : combien de personnes peuvent tourner à la fois. C'est une question de débit, et elle a une réponse mathématique qui n'est pas celle qu'on attend.

Un tour n'a pas la même longueur partout

Le premier point est simple, et il se calcule. La circonférence d'un cercle vaut deux fois pi fois son rayon, et le rite en demande sept.

À douze mètres du centre, sept tours représentent donc environ cinq cent vingt-huit mètres. À quarante-cinq mètres, les mêmes sept tours représentent près de deux kilomètres, exactement mille neuf cent soixante-dix-neuf mètres.

À l'allure que permet une foule dense, disons trois kilomètres par heure, cela fait une dizaine de minutes d'un côté et près de quarante minutes de l'autre. Le même rite, au même moment, dure quatre fois plus longtemps selon l'endroit où on l'accomplit.

On pourrait en conclure que le bord ne sert à rien

La conclusion semble s'imposer : si un tour au large prend quatre fois plus de temps, alors les anneaux extérieurs seraient inefficaces, et le sanctuaire aurait intérêt à concentrer le monde près du centre.

C'est faux, et le calcul le montre.

Un anneau situé loin du centre est plus long, donc il contient davantage de personnes à un instant donné : le nombre de gens qu'il peut accueillir est proportionnel à son rayon. Mais chacune de ces personnes met d'autant plus de temps à boucler ses sept tours que le rayon est grand : la durée est, elle aussi, proportionnelle au rayon.

Ces deux effets se compensent exactement. Deux fois plus loin, c'est deux fois plus de monde, et deux fois plus lentement. Le rapport entre les deux ne change pas.

La vraie loi : le débit dépend de la largeur, pas du rayon

On peut donc énoncer le résultat proprement. Le nombre de personnes qu'un anneau fait passer par heure ne dépend pas de sa distance au centre. Il ne dépend que de sa largeur.

Un anneau de dix mètres de large fait passer autant de monde qu'il soit à vingt mètres ou à cent mètres du centre. Ce qui change, c'est le temps que chacun y passe, pas le débit de l'ensemble.

Cette précision importe, parce que la formulation courante, selon laquelle « c'est le périmètre qui commande », conduit à une conclusion trompeuse. Le périmètre n'est pas le paramètre utile. La largeur l'est.

Le piège : la surface, elle, ne suit pas

Si le débit dépend de la largeur, alors doubler le débit demande de doubler la largeur de l'anneau. C'est là que le bâtiment se venge.

La surface d'un anneau compris entre un rayon intérieur et un rayon extérieur vaut pi fois la différence des carrés de ces deux rayons. Faisons le calcul sur deux cas concrets.

Un anneau qui va de douze à quarante-cinq mètres a une largeur de trente-trois mètres, et une surface d'environ cinq mille neuf cents mètres carrés. Pour doubler sa largeur, il faut porter son bord extérieur à soixante-dix-huit mètres. La largeur passe alors à soixante-six mètres, et la surface à environ dix-huit mille sept cents mètres carrés.

La largeur a doublé. La surface a triplé.

Ce que triple une surface

Ce facteur trois n'est pas un chiffre abstrait, et le premier poste de dépense n'est même pas la construction.

Il faut d'abord prendre la surface à la mosquée elle-même

Le premier réflexe est de penser que l'on prend cette surface à la ville. C'est vrai de l'agrandissement de la mosquée dans son ensemble, qui a toujours voulu dire racheter des maisons et les démolir, et c'est le sujet du premier chapitre de cette série. Mais ce n'est pas ce qui se passe quand on élargit l'anneau du tour.

Le tour est au centre de la mosquée, pas à sa périphérie. Ce qui le borde n'est pas la ville : ce sont les portiques et les galeries du bâtiment lui-même. Pour élargir, il faut donc démolir la mosquée avant de démolir quoi que ce soit d'autre.

C'est exactement ce qui a été fait lors des travaux lancés en 2011. La structure située derrière le portique ottoman a été abattue, puis reconstruite avec un sous-sol, trois niveaux et une toiture, entièrement dépourvus de piliers et réservés au seul tour. La largeur de la couverture du mataf est passée d'une vingtaine à une cinquantaine de mètres. Les pièces déposées du portique ottoman, qui appartient aux parties les plus anciennes encore debout, ont été confiées à une entreprise de restauration en vue d'une réinstallation.

Le chiffre qui résume l'opération est celui des appuis. Le nombre de piliers de la mosquée a été réduit d'environ quarante-quatre pour cent : de trente pour cent au rez-de-chaussée et au sous-sol, et de soixante-quinze pour cent au premier étage. Élargir le tour, ici, c'est d'abord retirer ce qui se tient dedans.

Puis la bâtir, et la daller

Vient ensuite la construction elle-même, et le sol, qui n'est pas n'importe quel sol.

Le mataf est à ciel ouvert. On n'y climatise rien, et l'on y marche pieds nus par des étés qui dépassent largement les quarante degrés. Le problème est donc reporté sur le sol lui-même. Le revêtement employé dans les deux saintes mosquées est un marbre blanc de Thassos, importé de Grèce depuis la fin des années 1970. Ce marbre dolomitique a une réflectance solaire très élevée, ce qui lui fait renvoyer la lumière au lieu de l'absorber, et une conductivité thermique élevée, ce qui lui fait évacuer vers le bas la chaleur qu'il prend quand même. Les dalles, d'environ cinq centimètres, sont posées sur des couches isolantes et des vides ventilés, de sorte que la chaleur accumulée dans le sol ne remonte pas vers la surface. Ce dispositif a fait l'objet d'études thermophysiques publiées.

Autrement dit, chaque mètre carré ajouté au tour est un mètre carré de cette pierre-là, posée sur ce complexe-là.

Il doit surtout être drainé. Le chapitre trois de cette série a montré que La Mecque est bâtie dans une vallée et le sanctuaire à son point bas, et qu'une crue y a fait tomber des murs de la Kaaba en 1630. Chaque mètre carré supplémentaire est une surface de plus sur laquelle l'eau tombe et qu'il faut évacuer.

Et il doit être atteint. Une esplanade plus large, ce sont des accès plus longs, plus d'escaliers, plus de portes, et une foule qui met plus de temps à y entrer et à en sortir.

Pourquoi on ne s'étale pas indéfiniment

La conclusion est une contrainte, pas une solution. Chaque mètre de largeur gagné coûte plus cher que le précédent, puisque la surface qu'il faut ajouter est proportionnelle au rayon auquel on l'ajoute. Élargir un anneau déjà large est le plus mauvais rapport possible entre ce que l'on dépense et ce que l'on gagne.

Autrement dit, la seule solution est de construire des étages d'anneaux. Le sanctuaire ne peut pas résoudre son problème de débit en s'étendant, parce que le coût croît plus vite que le bénéfice, et parce qu'il faudrait pour cela démolir toujours plus de sa propre structure, avant même de toucher à la ville.

Le chapitre suivant portera sur la seule sortie qui reste, et sur ce qu'elle suppose : empiler les niveaux. Un second niveau posé sur les mêmes rayons ajoute exactement le même débit qu'un doublement de largeur, sans occuper un mètre carré de sol supplémentaire.

Le chapitre suivant montre comment ces étages ont été construits, et ce que l'opération a coûté la première fois qu'un étage a pris appui dans la cour : trois fois plus de monde, sans un mètre carré de plus.

Nos sources

• Les longueurs et les surfaces de cet article sont calculées, pas reprises : sept tours à un rayon r valent 7 x 2πr, et l'aire d'un anneau vaut π(R² - r²). Les rayons de 12, 45 et 78 mètres correspondent aux ordres de grandeur du mataf et de ses extensions successives.
• Sur la vallée, le point bas et la crue de 1630, voir le chapitre 3 de cette série.
• Sur les démolitions nécessaires à chaque agrandissement, voir le chapitre 1.
• Sur le marbre de Thassos et son comportement thermique, les travaux publiés sur le dallage des deux saintes mosquées, notamment Cool white marble pavement thermophysical assessment at Al Masjid Al-Haram.
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